根据现行法律，继子一般无法律规定的对继母的抚养权。
抚养权专指父母对子女的生养育责任。
特殊情况如下：
当继子与继母长期建立起稳定的抚养与受教关系，且继母老年、丧失劳动力或生活困苦之际，出于道德理由，继子或许应承担部分赡养之责。
然而，此类义不容辞并不等同于抚养权。
抚养权更注重保护未成年人生活、教育及健康诸方面权益，包含监护与管理责任。
具体权利义务需视双方共处时间、生活状况以及家庭关系等多重因素而定。
总而言之，正常情况下，继子并未享有对继母的法定义务性抚养权。

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